作者：马尼尔·苏里1.金属疲劳年4月17日上午11点3分，美国西南航空号航班从纽约飞往达拉斯途中的万米高空，飞机左侧发动机上的涡轮叶片因金属疲劳而发生断裂。脱落的叶片引发发动机爆炸，爆炸后产生的金属碎片损坏了机身，并击碎了第14排的一扇舷窗。这导致客舱内气压迅速下降，使得一名乘客半个身子被吸出受损窗户外，遭受了致命伤害。最终，飞行员成功将飞机安全降落在费城，避免了更大的灾难。多年来，金属疲劳引起的飞机事故数量一直在持续增加，在刚刚过去的21世纪10年代的这十年里，事故数量已增至30起，其中几起事故严重到需要紧急迫降。年1月，波音Max9飞机在约米的高空中发生事故，门塞突然炸开。初步调查结果显示这可能是螺栓丢失所致，但波音Max家族因金属疲劳引起的安全问题并非首次，它曾在年强制更换了机翼前缘缝翼（前缘缝翼是装在机翼前缘的一个小翼面），因为这里更容易出现裂纹。一架飞机由数百万个零件紧密地组合而成，其中可能出现各种各样的问题。连续飞行会使这些零件经受不断交替的强烈的应力加载与卸载，在此期间，制造过程中不可避免的小缺陷会导致设备出现微小裂纹。一旦裂纹扩展得足够长，就像西南航空号飞机涡轮叶片底部的裂纹一样，毗邻裂纹的部件就会断裂。因此，飞机设计师需要预测部件将会承受的最大应力。裂纹可能出现在大坝、桥梁和建筑物等巨大的结构中，也可能出现在身体的骨骼和牙齿等生物结构中。例如，美国国家标准与技术研究院的工程师正在针对年佛罗里达州一处海滨公寓楼倒塌事件建模，以此分析支撑体裂纹在这场灾难中可能发挥的作用。另外，最近有研究分析了在北大西洋发生内爆的“泰坦”号潜水器，确定了可能发生断裂的区域。而在金属、混凝土和牙釉质中，裂纹往往形成于应力集中的区域——随着裂纹扩展，当尺寸超过临界长度（不同材料具有不同的临界裂纹长度）时，就可能带来非常危险的后果。工程师可以使用试验机来研究各种裂纹的危害，从而防止故障发生。现在，机器或建筑结构通常要开展实体检测，这是一种重要的故障防御措施，但这样的测试有时成本高昂，且并非总是可行。一旦零件投入使用，就应定期检查，这样的成本也很高。除了这些实际操作策略外，防止故障发生的第三种重要策略是计算机模拟。在开发过程中，模拟可以帮助工程师创造新的设计，并测试设计能否应对多种不同的服役条件，从而优化结构强度与重量等特征。例如，飞机需要尽可能轻巧耐用。如果实施得当，计算机模拟或有助于防止事故发生。这些模拟结果的可靠性对结构安全至关重要，但它们并不像制造缺陷、维修差错或检查频率那样受到严格审查或监管。工程师在分析年挪威石油平台倒塌事故时发现，由于模拟错误，预测其中一堵内部支撑墙需要承受的压力时，预测值低于实际值，仅约为实际承受压力的一半。因此，原本的加固设计不能满足实际需求，最终导致结构坍塌。随着美国开始实施大规模的基础设施改造计划，确保安全性和耐用性将非常重要。强大的计算机模拟可以帮助解决这两个问题，同时减少成本高昂的实验测试的需求。然而，令人担忧的是，工程师使用的模拟通常并不可靠。而数学则在不同的方面展现出自身的优势，从而在设计汽车、飞机、建筑、桥梁以及其他物体的结构时，得到更加安全也更经济的方案。2.模拟形变21世纪的机器非常复杂，然而有趣的是，背后的原理却是基于英国科学家罗伯特·胡克于17世纪70年代发表的一个拉丁语字谜。后来，胡克公布了谜底，意思是弹性物体（如金属弹簧）的形变与施加在其上的力成正比，这就是众所周知的胡克定律。这一定律只有在物体保持弹性的情况下才有效，也就是说，当施加的力被移除后，物体能恢复到初始形状。当力过大时，胡克定律就不再适用。在更高的维度上，情况会变得更加复杂。想象一下，轻轻按下粘在桌子上的橡胶方块。在这种情况下，方块高度相对于原始高度的减少量（应变），与方块顶面单位面积上受到的力（应力）成正比。正如工程师所说，我们也可以从不同的角度对不同的面施加不同的力，使方块承受不同的“载荷”。这样，应力和应变都将拥有多个分量，并且通常从一点到另一点发生变化。只要载荷不是太大，广义的胡克定律仍然有效。它表明应力与应变仍然成正比，但是方式更为复杂。例如，将所有应力加倍也将使所有应变加倍。人们利用胡克定律来分析各种各样的材料，包括金属、混凝土、橡胶，甚至是骨骼。（该定律适用的力的范围因材料的弹性而异。）但是，想要弄清楚物体如何响应实际载荷，该定律只提供了众多所需信息之一。工程师还必须考虑作用于物体的所有力（包括内力和外力）的平衡，并且确定应变与不同方向上形变之间的关系。这样，最终得到的方程被称作“偏微分方程组”，它们涉及应力和应变在不同方向上的变化率。偏微分方程组太复杂了，无法手动解决，甚至无法精确求解，特别是像涡轮叶片和桥梁支撑中用到的复杂几何结构。尽管如此，尤其是从年的弗拉基米尔·孔德拉特夫起，数学家开始分析常见几何形状（如多边形和多面体）的偏微分方程组，以获得宝贵的见解。例如，应力通常在拐角和边缘附近最大。这就是为什么如果先切一个缺口，然后从切口处开始将箔纸拉开，会更容易撕下一张箔纸。问题在于，许多对安全至关重要的机器零件在设计时都包含这些结构特征。通常情况下，边角会做得尽可能圆滑，但这些地方仍然更容易形成裂纹。尤其是当物体的载荷可以直接将裂纹两侧向垂直于裂纹面方向拉开时，裂纹最有可能出现扩展。因此，工程师必须特别
